\documentclass[12pt, a4paper, oneside]{ctexart}
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\title{\vspace{-4cm}\textbf{河北师范大学高等代数真题}}
\author{陈佳颖}
\date{\today}
\linespread{1.5}
\definecolor{shadecolor}{RGB}{241, 241, 255}
\newcounter{problemname}
\def\d{\mathrm{d}}
\newenvironment{problem}{\begin{shaded}\stepcounter{problemname}\noindent\textbf{题目\arabic{problemname}. }}{\end{shaded}}
\newenvironment{solution}{\par\noindent\textbf{解答. }}{\par}
\newenvironment{note}{\par\noindent\textbf{题目\arabic{problemname}的注记. }}{\par}
\pagestyle{plain}
\setlength{\parindent}{0pt}
\begin{document}
\date{}
\section*{2014年高等代数}
\begin{problem}[本题满分15分]
设$f(x)=(x-a)(x-b)-1$,这里$a,b$为整数，证明：$f(x)$在有理数域上是不可约的当且仅当$a\neq b$.
\end{problem}

\begin{problem}[本题满分15分]
设$\beta_{j}=\alpha_{j}-\displaystyle\sum_{i=1}^{r}\alpha_{i},j=1,2,\cdots,r$,证明：$\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_r$与$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r$有相同的秩。
\end{problem}

\begin{problem}[本题满分15分]
设$A,B$是两个$n$级方阵，证明：
$$
	r(A+B)=r(A)+r(B)
$$
的充分必要条件是存在可逆方阵$P,Q$,使得
$$
	PAQ=\begin{pmatrix}E_r&&0\\ 0&&0\end{pmatrix},PBQ=\begin{pmatrix}0&&0\\ 0&&E_s\end{pmatrix}
$$,
其中$r(A)=r,r(B)=s,r+s\leq n$

\end{problem}

\begin{problem}[本题满分15分]
设$A,B$为$n$级方阵，且$A-2B=2AB$,证明：$AB=BA$.
\end{problem}

\begin{problem}[本题满分15分]
证明4级复矩阵$A=\begin{bmatrix}0&0&0&-1\\ 1&0&0&0\\ 0&1&0&10\\ 0&0&1&0\end{bmatrix}$相似于一个对角矩阵。
\end{problem}

\begin{problem}[本题满分20分]
设$n$级方阵$A=\begin{bmatrix}1&2&\cdots&n\\ 1&2&\cdots&n\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ 1&2&\cdots&n\end{bmatrix}$,求$A$的全部特征值和特征向量，并求$A^{100}$.
\end{problem}

\begin{problem}[本题满分20分]
设$V$是数域$P$上的一个$2m$维线性空间，$W$和$U$是$V$的两个$m$维子空间，试构作$V$上的一个线性变换$\sigma$,使得$\sigma$的像空间$\sigma\left(V\right)$与核空间$\sigma^{-1}\left(0\right)$分别为$W$和$U$,并证明$\sigma^2(V)=W$的充分必要条件是$W\bigcap U=\{0\}$.
\end{problem}

\begin{problem}[本题满分15分]
设$\sigma,\tau$是线性空间$V$上的两个线性变换，$\sigma^{2}=2\sigma,\tau^{2}=3\tau$,若$\left(\sigma+\tau\right)^{2}=2\sigma+3\tau$,则$\sigma\tau=0$.
\end{problem}

\begin{problem}[本题满分20分]
称数域$P$上的$n$级矩阵
$$
A=\left(\begin{array}{ccccc}
	a_1&a_2&a_3&\cdots&a_n\\ 
	a_n&a_1&a_2&\cdots&a_{n-1}\\ 
	a_{n-1}&a_n&a_1&\cdots&a_{n-2}\\ 
	\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ 
	a_2&a_3&a_4&\cdots&a_1\end{array}\right)
$$
为循环矩阵，所有满足$\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{j}=0$的循环矩阵的全体做成一个集合$V$,$V$对矩阵的加法和数乘两种运算作成一个线性空间，试确定$V$的维数，并给出$V$的一组基。
\end{problem}

\end{document}.